Решить sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Найдите x

$$x=2$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{5x-1} в степени 2 и получите 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{3x-2} в степени 2 и получите 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Объедините 5x и 3x, чтобы получить 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Вычтите 2 из -1, чтобы получить -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x-1} в степени 2 и получите x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Вычтите 8x-3 из обеих частей уравнения.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 8x-3, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Объедините x и -8x, чтобы получить -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Чтобы вычислить 2, сложите -1 и 3.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Разложите \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Вычислите -2 в степени 2 и получите 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{5x-1} в степени 2 и получите 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{3x-2} в степени 2 и получите 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на 5x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Используйте свойство дистрибутивности, умножив каждый член 20x-4 на каждый член 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Объедините -40x и -12x, чтобы получить -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Вычтите 49x^{2} из обеих частей уравнения.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Объедините 60x^{2} и -49x^{2}, чтобы получить 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Прибавьте 28x к обеим частям.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Объедините -52x и 28x, чтобы получить -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Вычтите 4 из 8, чтобы получить 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 11x^{2}+ax+bx+4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -24.

$$a=-22 b=-2$$

Перепишите 11x^{2}-24x+4 как \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Разложите 11x в первом и -2 в второй группе.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и 11x-2=0у.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Подставьте \frac{2}{11} вместо x в уравнении \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} выражение не определено, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Подставьте 2 вместо x в уравнении \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Упростите. Значение x=2 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Уравнение \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} имеет уникальное решение.

$$x=2$$