Решить sqrt{4y+20}-sqrt{y-4}=6

$$\sqrt { 4 y + 20 } - \sqrt { y - 4 } = 6$$

Найдите y

$$y=20$$

$$y=4$$

Действия по решению

Вычтите -\sqrt{y-4} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{4y+20}=6+\sqrt{y-4}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{4y+20}\right)^{2}=\left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{4y+20} в степени 2 и получите 4y+20.

$$4y+20=\left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}.

$$4y+20=36+12\sqrt{y-4}+\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{y-4} в степени 2 и получите y-4.

$$4y+20=36+12\sqrt{y-4}+y-4$$

Вычтите 4 из 36, чтобы получить 32.

$$4y+20=32+12\sqrt{y-4}+y$$

Вычтите 32+y из обеих частей уравнения.

$$4y+20-\left(32+y\right)=12\sqrt{y-4}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 32+y, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4y+20-32-y=12\sqrt{y-4}$$

Вычтите 32 из 20, чтобы получить -12.

$$4y-12-y=12\sqrt{y-4}$$

Объедините 4y и -y, чтобы получить 3y.

$$3y-12=12\sqrt{y-4}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(3y-12\right)^{2}=\left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(3y-12\right)^{2}.

$$9y^{2}-72y+144=\left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Разложите \left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}.

$$9y^{2}-72y+144=12^{2}\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Вычислите 12 в степени 2 и получите 144.

$$9y^{2}-72y+144=144\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{y-4} в степени 2 и получите y-4.

$$9y^{2}-72y+144=144\left(y-4\right)$$

Чтобы умножить 144 на y-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$9y^{2}-72y+144=144y-576$$

Вычтите 144y из обеих частей уравнения.

$$9y^{2}-72y+144-144y=-576$$

Объедините -72y и -144y, чтобы получить -216y.

$$9y^{2}-216y+144=-576$$

Прибавьте 576 к обеим частям.

$$9y^{2}-216y+144+576=0$$

Чтобы вычислить 720, сложите 144 и 576.

$$9y^{2}-216y+720=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -216 вместо b и 720 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{\left(-216\right)^{2}-4\times 9\times 720}}{2\times 9}$$

Возведите -216 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-4\times 9\times 720}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-36\times 720}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на 720.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-25920}}{2\times 9}$$

Прибавьте 46656 к -25920.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{20736}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 20736.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±144}{2\times 9}$$

Число, противоположное -216, равно 216.

$$y=\frac{216±144}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$y=\frac{216±144}{18}$$

Решите уравнение y=\frac{216±144}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 216 к 144.

$$y=\frac{360}{18}$$

Разделите 360 на 18.

$$y=20$$

Решите уравнение y=\frac{216±144}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 144 из 216.

$$y=\frac{72}{18}$$

Разделите 72 на 18.

$$y=4$$

Уравнение решено.

$$y=20 y=4$$

Подставьте 20 вместо y в уравнении \sqrt{4y+20}-\sqrt{y-4}=6.

$$\sqrt{4\times 20+20}-\sqrt{20-4}=6$$

Упростите. Значение y=20 удовлетворяет уравнению.

$$6=6$$

Подставьте 4 вместо y в уравнении \sqrt{4y+20}-\sqrt{y-4}=6.

$$\sqrt{4\times 4+20}-\sqrt{4-4}=6$$

Упростите. Значение y=4 удовлетворяет уравнению.

$$6=6$$

Список всех решений \sqrt{4y+20}=\sqrt{y-4}+6.

$$y=20 y=4$$