Решить sqrt{4x^2-sqrt{8x+5}}=2x+1

$$\sqrt { 4 x ^ { 2 } - \sqrt { 8 x + 5 } } = 2 x + 1$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{4x^{2}-\sqrt{8x+5}}\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{4x^{2}-\sqrt{8x+5}} в степени 2 и получите 4x^{2}-\sqrt{8x+5}.

$$4x^{2}-\sqrt{8x+5}=\left(2x+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}-\sqrt{8x+5}=4x^{2}+4x+1$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-\sqrt{8x+5}=4x^{2}+4x+1-4x^{2}$$

Объедините 4x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить 0.

$$-\sqrt{8x+5}=4x+1$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-\sqrt{8x+5}\right)^{2}=\left(4x+1\right)^{2}$$

Разложите \left(-\sqrt{8x+5}\right)^{2}.

$$\left(-1\right)^{2}\left(\sqrt{8x+5}\right)^{2}=\left(4x+1\right)^{2}$$

Вычислите -1 в степени 2 и получите 1.

$$1\left(\sqrt{8x+5}\right)^{2}=\left(4x+1\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{8x+5} в степени 2 и получите 8x+5.

$$1\left(8x+5\right)=\left(4x+1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 1 на 8x+5, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x+5=\left(4x+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4x+1\right)^{2}.

$$8x+5=16x^{2}+8x+1$$

Вычтите 16x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x+5-16x^{2}=8x+1$$

Вычтите 8x из обеих частей уравнения.

$$8x+5-16x^{2}-8x=1$$

Объедините 8x и -8x, чтобы получить 0.

$$5-16x^{2}=1$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$-16x^{2}=1-5$$

Вычтите 5 из 1, чтобы получить -4.

$$-16x^{2}=-4$$

Разделите обе части на -16.

$$x^{2}=\frac{-4}{-16}$$

Привести дробь \frac{-4}{-16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на -4.

$$x^{2}=\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{1}{2} вместо x в уравнении \sqrt{4x^{2}-\sqrt{8x+5}}=2x+1. \sqrt{4\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\sqrt{8\times \frac{1}{2}+5}} выражение не определено, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

$$\sqrt{4\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\sqrt{8\times \frac{1}{2}+5}}=2\times \frac{1}{2}+1$$

Подставьте -\frac{1}{2} вместо x в уравнении \sqrt{4x^{2}-\sqrt{8x+5}}=2x+1.

$$\sqrt{4\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-\sqrt{8\left(-\frac{1}{2}\right)+5}}=2\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

Упростите. Значение x=-\frac{1}{2} удовлетворяет уравнению.

$$0=0$$

Уравнение \sqrt{4x^{2}-\sqrt{8x+5}}=2x+1 имеет уникальное решение.

$$x=-\frac{1}{2}$$