Решить sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Действия по решению

Вычтите -\sqrt{15+x^{2}} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{25-x^{2}} в степени 2 и получите 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{15+x^{2}} в степени 2 и получите 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Чтобы вычислить 31, сложите 16 и 15.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Вычтите 31+x^{2} из обеих частей уравнения.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 31+x^{2}, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Вычтите 31 из 25, чтобы получить -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Объедините -x^{2} и -x^{2}, чтобы получить -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Разложите \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите 8 в степени 2 и получите 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{15+x^{2}} в степени 2 и получите 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Чтобы умножить 64 на 15+x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Вычтите 960 из обеих частей уравнения.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Вычтите 960 из 36, чтобы получить -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Вычтите 64x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Объедините 24x^{2} и -64x^{2}, чтобы получить -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Замените t на x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 4, b на -40 и c на -924.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Решение t=\frac{40±128}{8} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=21 t=-11$$

Так как x=t^{2}, получены решения по оценке x=±\sqrt{t} для каждого t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Подставьте -\sqrt{21} вместо x в уравнении \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Упростите. Значение x=-\sqrt{21} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$-4=4$$

Подставьте \sqrt{21} вместо x в уравнении \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Упростите. Значение x=\sqrt{21} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$-4=4$$

Подставьте -\sqrt{11}i вместо x в уравнении \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Упростите. Значение x=-\sqrt{11}i удовлетворяет уравнению.

$$4=4$$

Подставьте \sqrt{11}i вместо x в уравнении \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Упростите. Значение x=\sqrt{11}i удовлетворяет уравнению.

$$4=4$$

Список всех решений \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$