Решить sqrt{2x-1}-2=sqrt{x-4}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - 2 = \sqrt { x - 4 }$$

Найдите x

$$x=13$$

$$x=5$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-1} в степени 2 и получите 2x-1.

$$2x-1-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 3, сложите -1 и 4.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x-4} в степени 2 и получите x-4.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=x-4$$

Вычтите 2x+3 из обеих частей уравнения.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-\left(2x+3\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 2x+3, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-2x-3$$

Объедините x и -2x, чтобы получить -x.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-4-3$$

Вычтите 3 из -4, чтобы получить -7.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-7$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Разложите \left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Вычислите -4 в степени 2 и получите 16.

$$16\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-1} в степени 2 и получите 2x-1.

$$16\left(2x-1\right)=\left(-x-7\right)^{2}$$

Чтобы умножить 16 на 2x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$32x-16=\left(-x-7\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-x-7\right)^{2}.

$$32x-16=x^{2}+14x+49$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$32x-16-x^{2}=14x+49$$

Вычтите 14x из обеих частей уравнения.

$$32x-16-x^{2}-14x=49$$

Объедините 32x и -14x, чтобы получить 18x.

$$18x-16-x^{2}=49$$

Вычтите 49 из обеих частей уравнения.

$$18x-16-x^{2}-49=0$$

Вычтите 49 из -16, чтобы получить -65.

$$18x-65-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+18x-65=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-65. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=18 ab=-\left(-65\right)=65$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 65.

$$1,65 5,13$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+65=66 5+13=18$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 18.

$$a=13 b=5$$

Перепишите -x^{2}+18x-65 как \left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right)$$

Разложите -x в первом и 5 в второй группе.

$$-x\left(x-13\right)+5\left(x-13\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-13, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-13\right)\left(-x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-13=0 и -x+5=0у.

$$x=13 x=5$$

Подставьте 13 вместо x в уравнении \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 13-1}-2=\sqrt{13-4}$$

Упростите. Значение x=13 удовлетворяет уравнению.

$$3=3$$

Подставьте 5 вместо x в уравнении \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-2=\sqrt{5-4}$$

Упростите. Значение x=5 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Список всех решений \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$x=13 x=5$$