Решить sqrt{2x-1}-sqrt{x-1}=sqrt{6-x}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 6 - x }$$

Найдите x

$$x=5$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-1} в степени 2 и получите 2x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x-1} в степени 2 и получите x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Объедините 2x и x, чтобы получить 3x.

$$3x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Вычтите 1 из -1, чтобы получить -2.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{6-x} в степени 2 и получите 6-x.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x$$

Вычтите 3x-2 из обеих частей уравнения.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-\left(3x-2\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 3x-2, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-3x+2$$

Объедините -x и -3x, чтобы получить -4x.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-4x+2$$

Чтобы вычислить 8, сложите 6 и 2.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=8-4x$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Разложите \left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Вычислите -2 в степени 2 и получите 4.

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-1} в степени 2 и получите 2x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x-1} в степени 2 и получите x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на 2x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(8x-4\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Используйте свойство дистрибутивности, умножив каждый член 8x-4 на каждый член x-1.

$$8x^{2}-8x-4x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Объедините -8x и -4x, чтобы получить -12x.

$$8x^{2}-12x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(8-4x\right)^{2}.

$$8x^{2}-12x+4=64-64x+16x^{2}$$

Вычтите 64 из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}-12x+4-64=-64x+16x^{2}$$

Вычтите 64 из 4, чтобы получить -60.

$$8x^{2}-12x-60=-64x+16x^{2}$$

Прибавьте 64x к обеим частям.

$$8x^{2}-12x-60+64x=16x^{2}$$

Объедините -12x и 64x, чтобы получить 52x.

$$8x^{2}+52x-60=16x^{2}$$

Вычтите 16x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}+52x-60-16x^{2}=0$$

Объедините 8x^{2} и -16x^{2}, чтобы получить -8x^{2}.

$$-8x^{2}+52x-60=0$$

Разделите обе части на 4.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -2x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 13.

$$a=10 b=3$$

Перепишите -2x^{2}+13x-15 как \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Разложите 2x в первом и -3 в второй группе.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+5=0 и 2x-3=0у.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Подставьте 5 вместо x в уравнении \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Упростите. Значение x=5 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Подставьте \frac{3}{2} вместо x в уравнении \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times \frac{3}{2}-1}-\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\sqrt{6-\frac{3}{2}}$$

Упростите. Значение x=\frac{3}{2} не соответствует уравнению.

$$\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Подставьте 5 вместо x в уравнении \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Упростите. Значение x=5 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Уравнение \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} имеет уникальное решение.

$$x=5$$