Решить sqrt{2x-1}+sqrt{3x+1}=7

$$\sqrt { 2 x - 1 } + \sqrt { 3 x + 1 } = 7$$

Найдите x

$$x=5$$

Действия по решению

Вычтите \sqrt{3x+1} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{2x-1}=7-\sqrt{3x+1}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(7-\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-1} в степени 2 и получите 2x-1.

$$2x-1=\left(7-\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(7-\sqrt{3x+1}\right)^{2}.

$$2x-1=49-14\sqrt{3x+1}+\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{3x+1} в степени 2 и получите 3x+1.

$$2x-1=49-14\sqrt{3x+1}+3x+1$$

Чтобы вычислить 50, сложите 49 и 1.

$$2x-1=50-14\sqrt{3x+1}+3x$$

Вычтите 50+3x из обеих частей уравнения.

$$2x-1-\left(50+3x\right)=-14\sqrt{3x+1}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 50+3x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$2x-1-50-3x=-14\sqrt{3x+1}$$

Вычтите 50 из -1, чтобы получить -51.

$$2x-51-3x=-14\sqrt{3x+1}$$

Объедините 2x и -3x, чтобы получить -x.

$$-x-51=-14\sqrt{3x+1}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-x-51\right)^{2}=\left(-14\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-x-51\right)^{2}.

$$x^{2}+102x+2601=\left(-14\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Разложите \left(-14\sqrt{3x+1}\right)^{2}.

$$x^{2}+102x+2601=\left(-14\right)^{2}\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Вычислите -14 в степени 2 и получите 196.

$$x^{2}+102x+2601=196\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{3x+1} в степени 2 и получите 3x+1.

$$x^{2}+102x+2601=196\left(3x+1\right)$$

Чтобы умножить 196 на 3x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}+102x+2601=588x+196$$

Вычтите 588x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+102x+2601-588x=196$$

Объедините 102x и -588x, чтобы получить -486x.

$$x^{2}-486x+2601=196$$

Вычтите 196 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-486x+2601-196=0$$

Вычтите 196 из 2601, чтобы получить 2405.

$$x^{2}-486x+2405=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -486 вместо b и 2405 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{\left(-486\right)^{2}-4\times 2405}}{2}$$

Возведите -486 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{236196-4\times 2405}}{2}$$

Умножьте -4 на 2405.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{236196-9620}}{2}$$

Прибавьте 236196 к -9620.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{226576}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 226576.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±476}{2}$$

Число, противоположное -486, равно 486.

$$x=\frac{486±476}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{486±476}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 486 к 476.

$$x=\frac{962}{2}$$

Разделите 962 на 2.

$$x=481$$

Решите уравнение x=\frac{486±476}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 476 из 486.

$$x=\frac{10}{2}$$

Разделите 10 на 2.

$$x=5$$

Уравнение решено.

$$x=481 x=5$$

Подставьте 481 вместо x в уравнении \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=7.

$$\sqrt{2\times 481-1}+\sqrt{3\times 481+1}=7$$

Упростите. Значение x=481 не соответствует уравнению.

$$69=7$$

Подставьте 5 вместо x в уравнении \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=7.

$$\sqrt{2\times 5-1}+\sqrt{3\times 5+1}=7$$

Упростите. Значение x=5 удовлетворяет уравнению.

$$7=7$$

Уравнение \sqrt{2x-1}=-\sqrt{3x+1}+7 имеет уникальное решение.

$$x=5$$