Решить sqrt{2x^2-5x+12+2x^2}=5x

$$\sqrt { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 12 + 2 x ^ { 2 } } = 5 x$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{1033}-5}{42}\approx 0,646198032$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{2x^{2}-5x+12+2x^{2}}\right)^{2}=\left(5x\right)^{2}$$

Объедините 2x^{2} и 2x^{2}, чтобы получить 4x^{2}.

$$\left(\sqrt{4x^{2}-5x+12}\right)^{2}=\left(5x\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{4x^{2}-5x+12} в степени 2 и получите 4x^{2}-5x+12.

$$4x^{2}-5x+12=\left(5x\right)^{2}$$

Разложите \left(5x\right)^{2}.

$$4x^{2}-5x+12=5^{2}x^{2}$$

Вычислите 5 в степени 2 и получите 25.

$$4x^{2}-5x+12=25x^{2}$$

Вычтите 25x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-5x+12-25x^{2}=0$$

Объедините 4x^{2} и -25x^{2}, чтобы получить -21x^{2}.

$$-21x^{2}-5x+12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -21 вместо a, -5 вместо b и 12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-21\right)\times 12}}{2\left(-21\right)}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-21\right)\times 12}}{2\left(-21\right)}$$

Умножьте -4 на -21.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+84\times 12}}{2\left(-21\right)}$$

Умножьте 84 на 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+1008}}{2\left(-21\right)}$$

Прибавьте 25 к 1008.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1033}}{2\left(-21\right)}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{1033}}{2\left(-21\right)}$$

Умножьте 2 на -21.

$$x=\frac{5±\sqrt{1033}}{-42}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{1033}}{-42} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к \sqrt{1033}.

$$x=\frac{\sqrt{1033}+5}{-42}$$

Разделите 5+\sqrt{1033} на -42.

$$x=\frac{-\sqrt{1033}-5}{42}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{1033}}{-42} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{1033} из 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{1033}}{-42}$$

Разделите 5-\sqrt{1033} на -42.

$$x=\frac{\sqrt{1033}-5}{42}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{1033}-5}{42} x=\frac{\sqrt{1033}-5}{42}$$

Подставьте \frac{-\sqrt{1033}-5}{42} вместо x в уравнении \sqrt{2x^{2}-5x+12+2x^{2}}=5x.

$$\sqrt{2\times \left(\frac{-\sqrt{1033}-5}{42}\right)^{2}-5\times \frac{-\sqrt{1033}-5}{42}+12+2\times \left(\frac{-\sqrt{1033}-5}{42}\right)^{2}}=5\times \frac{-\sqrt{1033}-5}{42}$$

Упростите. Значение x=\frac{-\sqrt{1033}-5}{42} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$\frac{25}{42}+\frac{5}{42}\times 1033^{\frac{1}{2}}=-\frac{5}{42}\times 1033^{\frac{1}{2}}-\frac{25}{42}$$

Подставьте \frac{\sqrt{1033}-5}{42} вместо x в уравнении \sqrt{2x^{2}-5x+12+2x^{2}}=5x.

$$\sqrt{2\times \left(\frac{\sqrt{1033}-5}{42}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{1033}-5}{42}+12+2\times \left(\frac{\sqrt{1033}-5}{42}\right)^{2}}=5\times \frac{\sqrt{1033}-5}{42}$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{1033}-5}{42} удовлетворяет уравнению.

$$-\left(\frac{25}{42}-\frac{5}{42}\times 1033^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{5}{42}\times 1033^{\frac{1}{2}}-\frac{25}{42}$$

Уравнение \sqrt{2x^{2}+2x^{2}-5x+12}=5x имеет уникальное решение.

$$x=\frac{\sqrt{1033}-5}{42}$$