Решить sqrt{2x+7}-3x+1=x-1

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1,272363543$$

Действия по решению

Вычтите -3x+1 из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения -3x+1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

Число, противоположное -3x, равно 3x.

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

Объедините x и 3x, чтобы получить 4x.

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

Вычтите 1 из -1, чтобы получить -2.

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x+7} в степени 2 и получите 2x+7.

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(4x-2\right)^{2}.

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

Вычтите 16x^{2} из обеих частей уравнения.

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

Прибавьте 16x к обеим частям.

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

Объедините 2x и 16x, чтобы получить 18x.

$$18x+7-16x^{2}=4$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

Вычтите 4 из 7, чтобы получить 3.

$$18x+3-16x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -16 вместо a, 18 вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Возведите 18 в квадрат.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте -4 на -16.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 64 на 3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

Прибавьте 324 к 192.

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 516.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 2 на -16.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

Решите уравнение x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -18 к 2\sqrt{129}.

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Разделите -18+2\sqrt{129} на -32.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{129} из -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Разделите -18-2\sqrt{129} на -32.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Подставьте \frac{9-\sqrt{129}}{16} вместо x в уравнении \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

Упростите. Значение x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

Подставьте \frac{\sqrt{129}+9}{16} вместо x в уравнении \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{129}+9}{16} удовлетворяет уравнению.

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

Уравнение \sqrt{2x+7}=4x-2 имеет уникальное решение.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$