Решить sqrt{2x+7}=sqrt{x+3}+1

$$\sqrt { 2 x + 7 } = \sqrt { x + 3 } + 1$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x=-3$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}+1\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x+7} в степени 2 и получите 2x+7.

$$2x+7=\left(\sqrt{x+3}+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{x+3}+1\right)^{2}.

$$2x+7=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}+1$$

Вычислите \sqrt{x+3} в степени 2 и получите x+3.

$$2x+7=x+3+2\sqrt{x+3}+1$$

Чтобы вычислить 4, сложите 3 и 1.

$$2x+7=x+4+2\sqrt{x+3}$$

Вычтите x+4 из обеих частей уравнения.

$$2x+7-\left(x+4\right)=2\sqrt{x+3}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x+4, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$2x+7-x-4=2\sqrt{x+3}$$

Объедините 2x и -x, чтобы получить x.

$$x+7-4=2\sqrt{x+3}$$

Вычтите 4 из 7, чтобы получить 3.

$$x+3=2\sqrt{x+3}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(x+3\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Разложите \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$x^{2}+6x+9=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+3} в степени 2 и получите x+3.

$$x^{2}+6x+9=4\left(x+3\right)$$

Чтобы умножить 4 на x+3, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}+6x+9=4x+12$$

Вычтите 4x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+6x+9-4x=12$$

Объедините 6x и -4x, чтобы получить 2x.

$$x^{2}+2x+9=12$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+2x+9-12=0$$

Вычтите 12 из 9, чтобы получить -3.

$$x^{2}+2x-3=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+2x-3 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=-3$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-1 b=3$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и x+3=0у.

$$x=1 x=-3$$

Подставьте 1 вместо x в уравнении \sqrt{2x+7}=\sqrt{x+3}+1.

$$\sqrt{2\times 1+7}=\sqrt{1+3}+1$$

Упростите. Значение x=1 удовлетворяет уравнению.

$$3=3$$

Подставьте -3 вместо x в уравнении \sqrt{2x+7}=\sqrt{x+3}+1.

$$\sqrt{2\left(-3\right)+7}=\sqrt{-3+3}+1$$

Упростите. Значение x=-3 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Список всех решений \sqrt{2x+7}=\sqrt{x+3}+1.

$$x=1 x=-3$$