Решить sqrt{2x+13}-3x=9

$$\sqrt { 2 x + 13 } - 3 x = 9$$

Найдите x

$$x=-2$$

Действия по решению

Вычтите -3x из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{2x+13}=9+3x$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{2x+13}\right)^{2}=\left(9+3x\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x+13} в степени 2 и получите 2x+13.

$$2x+13=\left(9+3x\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(9+3x\right)^{2}.

$$2x+13=81+54x+9x^{2}$$

Вычтите 81 из обеих частей уравнения.

$$2x+13-81=54x+9x^{2}$$

Вычтите 81 из 13, чтобы получить -68.

$$2x-68=54x+9x^{2}$$

Вычтите 54x из обеих частей уравнения.

$$2x-68-54x=9x^{2}$$

Объедините 2x и -54x, чтобы получить -52x.

$$-52x-68=9x^{2}$$

Вычтите 9x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-52x-68-9x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-9x^{2}-52x-68=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -9x^{2}+ax+bx-68. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-52 ab=-9\left(-68\right)=612$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 612.

$$-1,-612 -2,-306 -3,-204 -4,-153 -6,-102 -9,-68 -12,-51 -17,-36 -18,-34$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-612=-613 -2-306=-308 -3-204=-207 -4-153=-157 -6-102=-108 -9-68=-77 -12-51=-63 -17-36=-53 -18-34=-52$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -52.

$$a=-18 b=-34$$

Перепишите -9x^{2}-52x-68 как \left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right).

$$\left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right)$$

Разложите 9x в первом и 34 в второй группе.

$$9x\left(-x-2\right)+34\left(-x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x-2\right)\left(9x+34\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x-2=0 и 9x+34=0у.

$$x=-2 x=-\frac{34}{9}$$

Подставьте -2 вместо x в уравнении \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-2\right)+13}-3\left(-2\right)=9$$

Упростите. Значение x=-2 удовлетворяет уравнению.

$$9=9$$

Подставьте -\frac{34}{9} вместо x в уравнении \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-\frac{34}{9}\right)+13}-3\left(-\frac{34}{9}\right)=9$$

Упростите. Значение x=-\frac{34}{9} не соответствует уравнению.

$$\frac{41}{3}=9$$

Уравнение \sqrt{2x+13}=3x+9 имеет уникальное решение.

$$x=-2$$