Решить sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Найдите x

$$x=y+2$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 50, сложите 49 и 1.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} в степени 2 и получите 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 34, сложите 9 и 25.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} в степени 2 и получите 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Прибавьте 6x к обеим частям.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Объедините -14x и 6x, чтобы получить -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Объедините x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Вычтите 50 из обеих частей уравнения.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Вычтите 50 из 34, чтобы получить -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Прибавьте 2y к обеим частям.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Объедините -10y и 2y, чтобы получить -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Вычтите y^{2} из обеих частей уравнения.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Объедините y^{2} и -y^{2}, чтобы получить 0.

$$-8x=-16-8y$$

Уравнение имеет стандартный вид.

$$-8x=-8y-16$$

Разделите обе части на -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

Деление на -8 аннулирует операцию умножения на -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Разделите -16-8y на -8.

$$x=y+2$$

Подставьте y+2 вместо x в уравнении \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Упростите. Значение x=y+2 удовлетворяет уравнению.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

Уравнение \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} имеет уникальное решение.

$$x=y+2$$

Найдите y

$$y=x-2$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 50, сложите 49 и 1.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} в степени 2 и получите 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 34, сложите 9 и 25.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} в степени 2 и получите 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Прибавьте 10y к обеим частям.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Объедините -2y и 10y, чтобы получить 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Вычтите y^{2} из обеих частей уравнения.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Объедините y^{2} и -y^{2}, чтобы получить 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Вычтите 50 из обеих частей уравнения.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Вычтите 50 из 34, чтобы получить -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Прибавьте 14x к обеим частям.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Объедините -6x и 14x, чтобы получить 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Объедините x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 0.

$$8y=-16+8x$$

Уравнение имеет стандартный вид.

$$8y=8x-16$$

Разделите обе части на 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

Деление на 8 аннулирует операцию умножения на 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Разделите -16+8x на 8.

$$y=x-2$$

Подставьте x-2 вместо y в уравнении \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Упростите. Значение y=x-2 удовлетворяет уравнению.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

Уравнение \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} имеет уникальное решение.

$$y=x-2$$