Решить sqrt{a/9}+5/2sqrt{4a}=6

$$\sqrt { \frac { a } { 9 } } + \frac { 5 } { 2 } \sqrt { 4 a } = 6$$

Найдите a

$$a = \frac{81}{64} = 1\frac{17}{64} = 1,265625$$

Действия по решению

Вычтите \frac{5}{2}\sqrt{4a} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\frac{a}{9}}=6-\frac{5}{2}\sqrt{4a}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{\frac{a}{9}}\right)^{2}=\left(6-\frac{5}{2}\sqrt{4a}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{\frac{a}{9}} в степени 2 и получите \frac{a}{9}.

$$\frac{a}{9}=\left(6-\frac{5}{2}\sqrt{4a}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(6-\frac{5}{2}\sqrt{4a}\right)^{2}.

$$\frac{a}{9}=36-30\sqrt{4a}+\frac{25}{4}\left(\sqrt{4a}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{4a} в степени 2 и получите 4a.

$$\frac{a}{9}=36-30\sqrt{4a}+\frac{25}{4}\times 4a$$

Сократите 4 и 4.

$$\frac{a}{9}=36-30\sqrt{4a}+25a$$

Умножьте обе части уравнения на 9.

$$a=324-270\sqrt{4a}+225a$$

Вычтите 324+225a из обеих частей уравнения.

$$a-\left(324+225a\right)=-270\sqrt{4a}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 324+225a, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$a-324-225a=-270\sqrt{4a}$$

Объедините a и -225a, чтобы получить -224a.

$$-224a-324=-270\sqrt{4a}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-224a-324\right)^{2}=\left(-270\sqrt{4a}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-224a-324\right)^{2}.

$$50176a^{2}+145152a+104976=\left(-270\sqrt{4a}\right)^{2}$$

Разложите \left(-270\sqrt{4a}\right)^{2}.

$$50176a^{2}+145152a+104976=\left(-270\right)^{2}\left(\sqrt{4a}\right)^{2}$$

Вычислите -270 в степени 2 и получите 72900.

$$50176a^{2}+145152a+104976=72900\left(\sqrt{4a}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{4a} в степени 2 и получите 4a.

$$50176a^{2}+145152a+104976=72900\times 4a$$

Перемножьте 72900 и 4, чтобы получить 291600.

$$50176a^{2}+145152a+104976=291600a$$

Вычтите 291600a из обеих частей уравнения.

$$50176a^{2}+145152a+104976-291600a=0$$

Объедините 145152a и -291600a, чтобы получить -146448a.

$$50176a^{2}-146448a+104976=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 50176 вместо a, -146448 вместо b и 104976 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-146448\right)±\sqrt{\left(-146448\right)^{2}-4\times 50176\times 104976}}{2\times 50176}$$

Возведите -146448 в квадрат.

$$a=\frac{-\left(-146448\right)±\sqrt{21447016704-4\times 50176\times 104976}}{2\times 50176}$$

Умножьте -4 на 50176.

$$a=\frac{-\left(-146448\right)±\sqrt{21447016704-200704\times 104976}}{2\times 50176}$$

Умножьте -200704 на 104976.

$$a=\frac{-\left(-146448\right)±\sqrt{21447016704-21069103104}}{2\times 50176}$$

Прибавьте 21447016704 к -21069103104.

$$a=\frac{-\left(-146448\right)±\sqrt{377913600}}{2\times 50176}$$

Извлеките квадратный корень из 377913600.

$$a=\frac{-\left(-146448\right)±19440}{2\times 50176}$$

Число, противоположное -146448, равно 146448.

$$a=\frac{146448±19440}{2\times 50176}$$

Умножьте 2 на 50176.

$$a=\frac{146448±19440}{100352}$$

Решите уравнение a=\frac{146448±19440}{100352} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 146448 к 19440.

$$a=\frac{165888}{100352}$$

Привести дробь \frac{165888}{100352} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2048.

$$a=\frac{81}{49}$$

Решите уравнение a=\frac{146448±19440}{100352} при условии, что ± — минус. Вычтите 19440 из 146448.

$$a=\frac{127008}{100352}$$

Привести дробь \frac{127008}{100352} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 1568.

$$a=\frac{81}{64}$$

Уравнение решено.

$$a=\frac{81}{49} a=\frac{81}{64}$$

Подставьте \frac{81}{49} вместо a в уравнении \sqrt{\frac{a}{9}}+\frac{5}{2}\sqrt{4a}=6.

$$\sqrt{\frac{\frac{81}{49}}{9}}+\frac{5}{2}\sqrt{4\times \frac{81}{49}}=6$$

Упростите. Значение a=\frac{81}{49} не соответствует уравнению.

$$\frac{48}{7}=6$$

Подставьте \frac{81}{64} вместо a в уравнении \sqrt{\frac{a}{9}}+\frac{5}{2}\sqrt{4a}=6.

$$\sqrt{\frac{\frac{81}{64}}{9}}+\frac{5}{2}\sqrt{4\times \frac{81}{64}}=6$$

Упростите. Значение a=\frac{81}{64} удовлетворяет уравнению.

$$6=6$$

Уравнение \sqrt{\frac{a}{9}}=-\frac{5\sqrt{4a}}{2}+6 имеет уникальное решение.

$$a=\frac{81}{64}$$