Решить sqrt{1/x}=x

$$\sqrt { \frac { 1 } { x } } = x$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=1$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^{2}=x^{2}$$

Вычислите \sqrt{\frac{1}{x}} в степени 2 и получите \frac{1}{x}.

$$\frac{1}{x}=x^{2}$$

Умножьте обе части уравнения на x.

$$1=xx^{2}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели. Сложите 1 и 2, чтобы получить 3.

$$1=x^{3}$$

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x^{3}=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x^{3}-1=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}-1 на x-1, чтобы получить x^{2}+x+1. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 1 и c на 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Решение x^{2}+x+1=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Подставьте 1 вместо x в уравнении \sqrt{\frac{1}{x}}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{1}}=1$$

Упростите. Значение x=1 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Подставьте \frac{-\sqrt{3}i-1}{2} вместо x в уравнении \sqrt{\frac{1}{x}}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}}}=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Упростите. Значение x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} удовлетворяет уравнению.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} вместо x в уравнении \sqrt{\frac{1}{x}}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Упростите. Значение x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} не соответствует уравнению.

$$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Список всех решений \sqrt{\frac{1}{x}}=x.

$$x=1 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Найдите x

$$x=1$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^{2}=x^{2}$$

Вычислите \sqrt{\frac{1}{x}} в степени 2 и получите \frac{1}{x}.

$$\frac{1}{x}=x^{2}$$

Умножьте обе части уравнения на x.

$$1=xx^{2}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели. Сложите 1 и 2, чтобы получить 3.

$$1=x^{3}$$

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x^{3}=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x^{3}-1=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}-1 на x-1, чтобы получить x^{2}+x+1. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 1 и c на 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Решения нет, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел.

$$x\in \emptyset$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1$$

Подставьте 1 вместо x в уравнении \sqrt{\frac{1}{x}}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{1}}=1$$

Упростите. Значение x=1 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Уравнение \sqrt{\frac{1}{x}}=x имеет уникальное решение.

$$x=1$$