Перейти к основному содержанию
sine, x
Дифференцировать по x
Tick mark Image
Вычислить
Tick mark Image
График

Поделиться

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)
Для функции f\left(x\right) производная представляет собой предел \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} при h стремящемся к 0 (если этот предел существует).
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
Используйте формулу суммы для синуса.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}
Вынесите \sin(x) за скобки.
\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Перепишите предел.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
При вычислении пределов используйте тот факт, что x — константа, так как h стремится к 0.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)
Предел \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} равен 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Чтобы найти предел \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, сначала умножьте числитель и знаменатель на \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Умножьте \cos(h)+1 на \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Используйте теорему Пифагора.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Перепишите предел.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Предел \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} равен 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Используйте тот факт, что функция \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} непрерывна на 0.
\cos(x)
Подставьте значение 0 в выражение \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).