Решить {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Найдите x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$3x+5y=4$$

Вычтите 5y из обеих частей уравнения.

$$3x=-5y+4$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Умножьте \frac{1}{3} на -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Подставьте \frac{-5y+4}{3} вместо x в другом уравнении x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Прибавьте -\frac{5y}{3} к -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Вычтите \frac{4}{3} из обеих частей уравнения.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{14}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Умножьте -\frac{5}{3} на -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Прибавьте \frac{4}{3} к \frac{5}{3}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=3$$

Система решена.

$$x=3,y=-1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=3,y=-1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Чтобы сделать 3x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Упростите.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Вычтите 3x-9y=18 из 3x+5y=4 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Прибавьте 3x к -3x. Члены 3x и -3x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$5y+9y=4-18$$

Прибавьте 5y к 9y.

$$14y=4-18$$

Прибавьте 4 к -18.

$$14y=-14$$

Разделите обе части на 14.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в x-3y=6. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Умножьте -3 на -1.

$$x+3=6$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$x=3$$

Система решена.

$$x=3,y=-1$$