Решить {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Найдите x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Прибавьте y к обеим частям.

$$x+y=5$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x+y=5$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x=-y+5$$

Подставьте -y+5 вместо x в другом уравнении 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Умножьте 7 на -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Прибавьте -7y к 3y.

$$-4y+35=47$$

Вычтите 35 из обеих частей уравнения.

$$-4y=12$$

Разделите обе части на -4.

$$y=-3$$

Подставьте -3 вместо y в x=-y+5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Умножьте -1 на -3.

$$x=3+5$$

Прибавьте 5 к 3.

$$x=8$$

Система решена.

$$x=8,y=-3$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Прибавьте y к обеим частям.

$$x+y=5$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=8,y=-3$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Прибавьте y к обеим частям.

$$x+y=5$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Чтобы сделать x и 7x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 7 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Упростите.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Вычтите 7x+3y=47 из 7x+7y=35 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Прибавьте 7x к -7x. Члены 7x и -7x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$7y-3y=35-47$$

Прибавьте 7y к -3y.

$$4y=35-47$$

Прибавьте 35 к -47.

$$4y=-12$$

Разделите обе части на 4.

$$y=-3$$

Подставьте -3 вместо y в 7x+3y=47. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Умножьте 3 на -3.

$$7x-9=47$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$7x=56$$

Разделите обе части на 7.

$$x=8$$

Система решена.

$$x=8,y=-3$$