Решить {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Чтобы умножить 3 на 1+y, используйте свойство дистрибутивности.

$$x+2y=3+3y+1$$

Чтобы вычислить 4, сложите 3 и 1.

$$x+2y=4+3y$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$x+2y-3y=4$$

Объедините 2y и -3y, чтобы получить -y.

$$x-y=4$$

Рассмотрите второе уравнение. Чтобы умножить 2 на 1-y, используйте свойство дистрибутивности.

$$8-y=2-2y+3x$$

Прибавьте 2y к обеим частям.

$$8-y+2y=2+3x$$

Объедините -y и 2y, чтобы получить y.

$$8+y=2+3x$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$8+y-3x=2$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$y-3x=2-8$$

Вычтите 8 из 2, чтобы получить -6.

$$y-3x=-6$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x-y=4$$

Прибавьте y к обеим частям уравнения.

$$x=y+4$$

Подставьте y+4 вместо x в другом уравнении -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Умножьте -3 на y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Прибавьте -3y к y.

$$-2y-12=-6$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$-2y=6$$

Разделите обе части на -2.

$$y=-3$$

Подставьте -3 вместо y в x=y+4. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-3+4$$

Прибавьте 4 к -3.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=-3$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Чтобы умножить 3 на 1+y, используйте свойство дистрибутивности.

$$x+2y=3+3y+1$$

Чтобы вычислить 4, сложите 3 и 1.

$$x+2y=4+3y$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$x+2y-3y=4$$

Объедините 2y и -3y, чтобы получить -y.

$$x-y=4$$

Рассмотрите второе уравнение. Чтобы умножить 2 на 1-y, используйте свойство дистрибутивности.

$$8-y=2-2y+3x$$

Прибавьте 2y к обеим частям.

$$8-y+2y=2+3x$$

Объедините -y и 2y, чтобы получить y.

$$8+y=2+3x$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$8+y-3x=2$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$y-3x=2-8$$

Вычтите 8 из 2, чтобы получить -6.

$$y-3x=-6$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=1,y=-3$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Чтобы умножить 3 на 1+y, используйте свойство дистрибутивности.

$$x+2y=3+3y+1$$

Чтобы вычислить 4, сложите 3 и 1.

$$x+2y=4+3y$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$x+2y-3y=4$$

Объедините 2y и -3y, чтобы получить -y.

$$x-y=4$$

Рассмотрите второе уравнение. Чтобы умножить 2 на 1-y, используйте свойство дистрибутивности.

$$8-y=2-2y+3x$$

Прибавьте 2y к обеим частям.

$$8-y+2y=2+3x$$

Объедините -y и 2y, чтобы получить y.

$$8+y=2+3x$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$8+y-3x=2$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$y-3x=2-8$$

Вычтите 8 из 2, чтобы получить -6.

$$y-3x=-6$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Чтобы сделать x и -3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Упростите.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Вычтите -3x+y=-6 из -3x+3y=-12 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Прибавьте -3x к 3x. Члены -3x и 3x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$3y-y=-12+6$$

Прибавьте 3y к -y.

$$2y=-12+6$$

Прибавьте -12 к 6.

$$2y=-6$$

Разделите обе части на 2.

$$y=-3$$

Подставьте -3 вместо y в -3x+y=-6. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-3x-3=-6$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$-3x=-3$$

Разделите обе части на -3.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=-3$$