Решить {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$5x-4y=-7$$

Прибавьте 4y к обеим частям уравнения.

$$5x=4y-7$$

Разделите обе части на 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Умножьте \frac{1}{5} на 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Подставьте \frac{4y-7}{5} вместо x в другом уравнении -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Умножьте -6 на \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Прибавьте -\frac{24y}{5} к 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Вычтите \frac{42}{5} из обеих частей уравнения.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{16}{5}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-2$$

Подставьте -2 вместо y в x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Умножьте \frac{4}{5} на -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Прибавьте -\frac{7}{5} к -\frac{8}{5}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-3$$

Система решена.

$$x=-3,y=-2$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-3,y=-2$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Чтобы сделать 5x и -6x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -6 и все члены в обеих частях второго уравнения на 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Упростите.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Вычтите -30x+40y=10 из -30x+24y=42 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Прибавьте -30x к 30x. Члены -30x и 30x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$24y-40y=42-10$$

Прибавьте 24y к -40y.

$$-16y=42-10$$

Прибавьте 42 к -10.

$$-16y=32$$

Разделите обе части на -16.

$$y=-2$$

Подставьте -2 вместо y в -6x+8y=2. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Умножьте 8 на -2.

$$-6x-16=2$$

Прибавьте 16 к обеим частям уравнения.

$$-6x=18$$

Разделите обе части на -6.

$$x=-3$$

Система решена.

$$x=-3,y=-2$$