Решить {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+3y=10$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$2x=-3y+10$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Подставьте -\frac{3y}{2}+5 вместо x в другом уравнении -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Умножьте -3 на -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Прибавьте \frac{9y}{2} к y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{11}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=6$$

Подставьте 6 вместо y в x=-\frac{3}{2}y+5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Умножьте -\frac{3}{2} на 6.

$$x=-9+5$$

Прибавьте 5 к -9.

$$x=-4$$

Система решена.

$$x=-4,y=6$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-4,y=6$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Чтобы сделать 2x и -3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Упростите.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

Вычтите -6x+2y=36 из -6x-9y=-30 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Прибавьте -6x к 6x. Члены -6x и 6x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-9y-2y=-30-36$$

Прибавьте -9y к -2y.

$$-11y=-30-36$$

Прибавьте -30 к -36.

$$-11y=-66$$

Разделите обе части на -11.

$$y=6$$

Подставьте 6 вместо y в -3x+y=18. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-3x+6=18$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$-3x=12$$

Разделите обе части на -3.

$$x=-4$$

Система решена.

$$x=-4,y=6$$