Решить {l}{y=x-7}{y=-2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x - 7 } \\ { y = - 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Найдите y, x

$$x=2$$

$$y=-5$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$y-x=-7$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 2x к обеим частям.

$$y+2x=-1$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-x=-7,y+2x=-1$$

Выберите один из уравнений и решите его для y, изолируя y в левой части знака равенства.

$$y-x=-7$$

Прибавьте x к обеим частям уравнения.

$$y=x-7$$

Подставьте x-7 вместо y в другом уравнении y+2x=-1.

$$x-7+2x=-1$$

Прибавьте x к 2x.

$$3x-7=-1$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$3x=6$$

Разделите обе части на 3.

$$x=2$$

Подставьте 2 вместо x в y=x-7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=2-7$$

Прибавьте -7 к 2.

$$y=-5$$

Система решена.

$$y=-5,x=2$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$y-x=-7$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 2x к обеим частям.

$$y+2x=-1$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-x=-7,y+2x=-1$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\left(-7\right)+\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=-5,x=2$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$y-x=-7$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 2x к обеим частям.

$$y+2x=-1$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-x=-7,y+2x=-1$$

Вычтите y+2x=-1 из y-x=-7 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$y-y-x-2x=-7+1$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-x-2x=-7+1$$

Прибавьте -x к -2x.

$$-3x=-7+1$$

Прибавьте -7 к 1.

$$-3x=-6$$

Разделите обе части на -3.

$$x=2$$

Подставьте 2 вместо x в y+2x=-1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y+2\times 2=-1$$

Умножьте 2 на 2.

$$y+4=-1$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$y=-5$$

Система решена.

$$y=-5,x=2$$