Решить {l}{y=2x+8}{3x+2y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Найдите y, x

$$x=-4$$

$$y=0$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=8$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Выберите один из уравнений и решите его для y, изолируя y в левой части знака равенства.

$$y-2x=8$$

Прибавьте 2x к обеим частям уравнения.

$$y=2x+8$$

Подставьте 8+2x вместо y в другом уравнении 2y+3x=-12.

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

Умножьте 2 на 8+2x.

$$4x+16+3x=-12$$

Прибавьте 4x к 3x.

$$7x+16=-12$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$7x=-28$$

Разделите обе части на 7.

$$x=-4$$

Подставьте -4 вместо x в y=2x+8. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=2\left(-4\right)+8$$

Умножьте 2 на -4.

$$y=-8+8$$

Прибавьте 8 к -8.

$$y=0$$

Система решена.

$$y=0,x=-4$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=8$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=0,x=-4$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=8$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Чтобы сделать y и 2y равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 2 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

Упростите.

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

Вычтите 2y+3x=-12 из 2y-4x=16 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

Прибавьте 2y к -2y. Члены 2y и -2y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-4x-3x=16+12$$

Прибавьте -4x к -3x.

$$-7x=16+12$$

Прибавьте 16 к 12.

$$-7x=28$$

Разделите обе части на -7.

$$x=-4$$

Подставьте -4 вместо x в 2y+3x=-12. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

Умножьте 3 на -4.

$$2y-12=-12$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$2y=0$$

Разделите обе части на 2.

$$y=0$$

Система решена.

$$y=0,x=-4$$