Решить {l}{y=-x}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Найдите y, x

$$x=-2$$

$$y=2$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Прибавьте x к обеим частям.

$$y+x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=6$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Выберите один из уравнений и решите его для y, изолируя y в левой части знака равенства.

$$y+x=0$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$y=-x$$

Подставьте -x вместо y в другом уравнении y-2x=6.

$$-x-2x=6$$

Прибавьте -x к -2x.

$$-3x=6$$

Разделите обе части на -3.

$$x=-2$$

Подставьте -2 вместо x в y=-x. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=-\left(-2\right)$$

Умножьте -1 на -2.

$$y=2$$

Система решена.

$$y=2,x=-2$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Прибавьте x к обеим частям.

$$y+x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=6$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=2,x=-2$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Прибавьте x к обеим частям.

$$y+x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=6$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Вычтите y-2x=6 из y+x=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$y-y+x+2x=-6$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$x+2x=-6$$

Прибавьте x к 2x.

$$3x=-6$$

Разделите обе части на 3.

$$x=-2$$

Подставьте -2 вместо x в y-2x=6. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y-2\left(-2\right)=6$$

Умножьте -2 на -2.

$$y+4=6$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$y=2$$

Система решена.

$$y=2,x=-2$$