Решить {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x-3-y=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$x-y=3$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$37-3x-y=0$$

Вычтите 37 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-3x-y=-37$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x-y=3$$

Прибавьте y к обеим частям уравнения.

$$x=y+3$$

Подставьте y+3 вместо x в другом уравнении -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Умножьте -3 на y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Прибавьте -3y к -y.

$$-4y-9=-37$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$-4y=-28$$

Разделите обе части на -4.

$$y=7$$

Подставьте 7 вместо y в x=y+3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=7+3$$

Прибавьте 3 к 7.

$$x=10$$

Система решена.

$$x=10,y=7$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x-3-y=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$x-y=3$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$37-3x-y=0$$

Вычтите 37 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-3x-y=-37$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=10,y=7$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x-3-y=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$x-y=3$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$37-3x-y=0$$

Вычтите 37 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-3x-y=-37$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Вычтите -3x-y=-37 из x-y=3 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Прибавьте -y к y. Члены -y и y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$x+3x=3+37$$

Прибавьте x к 3x.

$$4x=3+37$$

Прибавьте 3 к 37.

$$4x=40$$

Разделите обе части на 4.

$$x=10$$

Подставьте 10 вместо x в -3x-y=-37. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$-3\times 10-y=-37$$

Умножьте -3 на 10.

$$-30-y=-37$$

Прибавьте 30 к обеим частям уравнения.

$$-y=-7$$

Разделите обе части на -1.

$$y=7$$

Система решена.

$$x=10,y=7$$