Решить {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Действия с использованием подстановок и формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

РазРешите x+y=1 x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x+y=1$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x=-y+1$$

Подставьте -y+1 вместо x в другом уравнении y^{2}+x^{2}=4.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

Возведите -y+1 в квадрат.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Прибавьте y^{2} к y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1+1\left(-1\right)^{2} вместо a, 1\times 1\left(-1\right)\times 2 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 1\times 1\left(-1\right)\times 2 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Прибавьте 4 к 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 28.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Число, противоположное 1\times 1\left(-1\right)\times 2, равно 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Решите уравнение y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Разделите 2+2\sqrt{7} на 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Решите уравнение y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{7} из 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Разделите 2-2\sqrt{7} на 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Существует два решения для y: \frac{1+\sqrt{7}}{2} и \frac{1-\sqrt{7}}{2}. Подставьте \frac{1+\sqrt{7}}{2} вместо y в уравнении x=-y+1, чтобы найти соответствующее решение для x, удовлетворяющее обоим уравнениям.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Теперь подставьте \frac{1-\sqrt{7}}{2} вместо y в уравнении x=-y+1 и решите его, чтобы найти соответствующее решение для x, удовлетворяющее обоим уравнениям.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

Система решена.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$