Решить {l}{x+y=1}{3x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x+y=1$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x=-y+1$$

Подставьте -y+1 вместо x в другом уравнении 3x+y=5.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

Умножьте 3 на -y+1.

$$-3y+3+y=5$$

Прибавьте -3y к y.

$$-2y+3=5$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$-2y=2$$

Разделите обе части на -2.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в x=-y+1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

Умножьте -1 на -1.

$$x=1+1$$

Прибавьте 1 к 1.

$$x=2$$

Система решена.

$$x=2,y=-1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=2,y=-1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Вычтите 3x+y=5 из x+y=1 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$x-3x+y-y=1-5$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$x-3x=1-5$$

Прибавьте x к -3x.

$$-2x=1-5$$

Прибавьте 1 к -5.

$$-2x=-4$$

Разделите обе части на -2.

$$x=2$$

Подставьте 2 вместо x в 3x+y=5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$3\times 2+y=5$$

Умножьте 3 на 2.

$$6+y=5$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$y=-1$$

Система решена.

$$x=2,y=-1$$