Решить {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x+3y=7$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$x=-3y+7$$

Подставьте -3y+7 вместо x в другом уравнении 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Умножьте 3 на -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Прибавьте -9y к y.

$$-8y+21=17$$

Вычтите 21 из обеих частей уравнения.

$$-8y=-4$$

Разделите обе части на -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{1}{2} вместо y в x=-3y+7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-3\times \left(\frac{1}{2}\right)+7$$

Умножьте -3 на \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Прибавьте 7 к -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

Система решена.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Чтобы сделать x и 3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Упростите.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Вычтите 3x+y=17 из 3x+9y=21 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Прибавьте 3x к -3x. Члены 3x и -3x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$9y-y=21-17$$

Прибавьте 9y к -y.

$$8y=21-17$$

Прибавьте 21 к -17.

$$8y=4$$

Разделите обе части на 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{1}{2} вместо y в 3x+y=17. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

Система решена.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$