Решить {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x+15-y=0$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$x-y=-15$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$4x-y=0$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x-y=-15$$

Прибавьте y к обеим частям уравнения.

$$x=y-15$$

Подставьте y-15 вместо x в другом уравнении 4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Умножьте 4 на y-15.

$$4y-60-y=0$$

Прибавьте 4y к -y.

$$3y-60=0$$

Прибавьте 60 к обеим частям уравнения.

$$3y=60$$

Разделите обе части на 3.

$$y=20$$

Подставьте 20 вместо y в x=y-15. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=20-15$$

Прибавьте -15 к 20.

$$x=5$$

Система решена.

$$x=5,y=20$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x+15-y=0$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$x-y=-15$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$4x-y=0$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=5,y=20$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x+15-y=0$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$x-y=-15$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$4x-y=0$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Вычтите 4x-y=0 из x-y=-15 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$x-4x-y+y=-15$$

Прибавьте -y к y. Члены -y и y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$x-4x=-15$$

Прибавьте x к -4x.

$$-3x=-15$$

Разделите обе части на -3.

$$x=5$$

Подставьте 5 вместо x в 4x-y=0. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$4\times 5-y=0$$

Умножьте 4 на 5.

$$20-y=0$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$-y=-20$$

Разделите обе части на -1.

$$y=20$$

Система решена.

$$x=5,y=20$$