Решить {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=400$$

$$y=20$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x+20y=800$$

Рассмотрите второе уравнение. Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x+15y=700$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x+20y=800$$

Вычтите 20y из обеих частей уравнения.

$$x=-20y+800$$

Подставьте -20y+800 вместо x в другом уравнении x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Прибавьте -20y к 15y.

$$-5y+800=700$$

Вычтите 800 из обеих частей уравнения.

$$-5y=-100$$

Разделите обе части на -5.

$$y=20$$

Подставьте 20 вместо y в x=-20y+800. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-20\times 20+800$$

Умножьте -20 на 20.

$$x=-400+800$$

Прибавьте 800 к -400.

$$x=400$$

Система решена.

$$x=400,y=20$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x+20y=800$$

Рассмотрите второе уравнение. Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x+15y=700$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=400,y=20$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x+20y=800$$

Рассмотрите второе уравнение. Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x+15y=700$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Вычтите x+15y=700 из x+20y=800 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Прибавьте x к -x. Члены x и -x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$20y-15y=800-700$$

Прибавьте 20y к -15y.

$$5y=800-700$$

Прибавьте 800 к -700.

$$5y=100$$

Разделите обе части на 5.

$$y=20$$

Подставьте 20 вместо y в x+15y=700. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x+15\times 20=700$$

Умножьте 15 на 20.

$$x+300=700$$

Вычтите 300 из обеих частей уравнения.

$$x=400$$

Система решена.

$$x=400,y=20$$