Решить {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$8+4x-2y=0$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$4x-2y=-8$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 3y к обеим частям.

$$-4x+3y=14$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$4x-2y=-8$$

Прибавьте 2y к обеим частям уравнения.

$$4x=2y-8$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Умножьте \frac{1}{4} на -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Подставьте \frac{y}{2}-2 вместо x в другом уравнении -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Умножьте -4 на \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Прибавьте -2y к 3y.

$$y+8=14$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$y=6$$

Подставьте 6 вместо y в x=\frac{1}{2}y-2. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Умножьте \frac{1}{2} на 6.

$$x=3-2$$

Прибавьте -2 к 3.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=6$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$8+4x-2y=0$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$4x-2y=-8$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 3y к обеим частям.

$$-4x+3y=14$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=1,y=6$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$8+4x-2y=0$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$4x-2y=-8$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 3y к обеим частям.

$$-4x+3y=14$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Чтобы сделать 4x и -4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Упростите.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Вычтите -16x+12y=56 из -16x+8y=32 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Прибавьте -16x к 16x. Члены -16x и 16x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$8y-12y=32-56$$

Прибавьте 8y к -12y.

$$-4y=32-56$$

Прибавьте 32 к -56.

$$-4y=-24$$

Разделите обе части на -4.

$$y=6$$

Подставьте 6 вместо y в -4x+3y=14. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-4x+3\times 6=14$$

Умножьте 3 на 6.

$$-4x+18=14$$

Вычтите 18 из обеих частей уравнения.

$$-4x=-4$$

Разделите обе части на -4.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=6$$