Решить {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$4x+y=7$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$4x=-y+7$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

Умножьте \frac{1}{4} на -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

Подставьте \frac{-y+7}{4} вместо x в другом уравнении 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

Умножьте 3 на \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Прибавьте -\frac{3y}{4} к 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Вычтите \frac{21}{4} из обеих частей уравнения.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{5}{4}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=3$$

Подставьте 3 вместо y в x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Умножьте -\frac{1}{4} на 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Прибавьте \frac{7}{4} к -\frac{3}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=3$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=1,y=3$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Чтобы сделать 4x и 3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Упростите.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

Вычтите 12x+8y=36 из 12x+3y=21 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Прибавьте 12x к -12x. Члены 12x и -12x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$3y-8y=21-36$$

Прибавьте 3y к -8y.

$$-5y=21-36$$

Прибавьте 21 к -36.

$$-5y=-15$$

Разделите обе части на -5.

$$y=3$$

Подставьте 3 вместо y в 3x+2y=9. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$3x+2\times 3=9$$

Умножьте 2 на 3.

$$3x+6=9$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$3x=3$$

Разделите обе части на 3.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=3$$