Решить {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$4x+2y=2$$

Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$4x=-2y+2$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Умножьте \frac{1}{4} на -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{-y+1}{2} вместо x в другом уравнении x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Прибавьте -\frac{y}{2} к y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Умножьте обе части на 2.

$$y=7$$

Подставьте 7 вместо y в x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Умножьте -\frac{1}{2} на 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к -\frac{7}{2}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-3$$

Система решена.

$$x=-3,y=7$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-3,y=7$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Чтобы сделать 4x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Упростите.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Вычтите 4x+4y=16 из 4x+2y=2 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Прибавьте 4x к -4x. Члены 4x и -4x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$2y-4y=2-16$$

Прибавьте 2y к -4y.

$$-2y=2-16$$

Прибавьте 2 к -16.

$$-2y=-14$$

Разделите обе части на -2.

$$y=7$$

Подставьте 7 вместо y в x+y=4. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x+7=4$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$x=-3$$

Система решена.

$$x=-3,y=7$$