Решить {l}{3x-5y=-18}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 18 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$3x-5y=-18$$

Прибавьте 5y к обеим частям уравнения.

$$3x=5y-18$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)$$

Умножьте \frac{1}{3} на 5y-18.

$$x=\frac{5}{3}y-6$$

Подставьте \frac{5y}{3}-6 вместо x в другом уравнении 3x-2y=9.

$$3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9$$

Умножьте 3 на \frac{5y}{3}-6.

$$5y-18-2y=9$$

Прибавьте 5y к -2y.

$$3y-18=9$$

Прибавьте 18 к обеим частям уравнения.

$$3y=27$$

Разделите обе части на 3.

$$y=9$$

Подставьте 9 вместо y в x=\frac{5}{3}y-6. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{5}{3}\times 9-6$$

Умножьте \frac{5}{3} на 9.

$$x=15-6$$

Прибавьте -6 к 15.

$$x=9$$

Система решена.

$$x=9,y=9$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=9,y=9$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Вычтите 3x-2y=9 из 3x-5y=-18 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3x-3x-5y+2y=-18-9$$

Прибавьте 3x к -3x. Члены 3x и -3x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-5y+2y=-18-9$$

Прибавьте -5y к 2y.

$$-3y=-18-9$$

Прибавьте -18 к -9.

$$-3y=-27$$

Разделите обе части на -3.

$$y=9$$

Подставьте 9 вместо y в 3x-2y=9. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$3x-2\times 9=9$$

Умножьте -2 на 9.

$$3x-18=9$$

Прибавьте 18 к обеим частям уравнения.

$$3x=27$$

Разделите обе части на 3.

$$x=9$$

Система решена.

$$x=9,y=9$$