Skip to main content
$\estwo{2 \subscript{x}{1} + 3 \subscript{x}{2} = 7}{4 \subscript{x}{1} - 4 \subscript{x}{2} = -6} $
Найдите x_1, x_2
Tick mark Image

Подобные задачи из результатов поиска в Интернете

Поделиться

2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6
Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.
2x_{1}+3x_{2}=7
Выберите один из уравнений и решите его для x_{1}, изолируя x_{1} в левой части знака равенства.
2x_{1}=-3x_{2}+7
Вычтите 3x_{2} из обеих частей уравнения.
x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)
Разделите обе части на 2.
x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}
Умножьте \frac{1}{2} на -3x_{2}+7.
4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6
Подставьте \frac{-3x_{2}+7}{2} вместо x_{1} в другом уравнении 4x_{1}-4x_{2}=-6.
-6x_{2}+14-4x_{2}=-6
Умножьте 4 на \frac{-3x_{2}+7}{2}.
-10x_{2}+14=-6
Прибавьте -6x_{2} к -4x_{2}.
-10x_{2}=-20
Вычтите 14 из обеих частей уравнения.
x_{2}=2
Разделите обе части на -10.
x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}
Подставьте 2 вместо x_{2} в x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x_{1}.
x_{1}=-3+\frac{7}{2}
Умножьте -\frac{3}{2} на 2.
x_{1}=\frac{1}{2}
Прибавьте \frac{7}{2} к -3.
x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2
Система решена.
2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6
Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.
\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Запишите уравнения в матричном виде.
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Перемножение матриц слева от знака равенства.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)
Перемножьте матрицы.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2
Извлеките элементы матрицы x_{1} и x_{2}.
2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6
Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.
4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)
Чтобы сделать 2x_{1} и 4x_{1} равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.
8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12
Упростите.
8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12
Вычтите 8x_{1}-8x_{2}=-12 из 8x_{1}+12x_{2}=28 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.
12x_{2}+8x_{2}=28+12
Прибавьте 8x_{1} к -8x_{1}. Члены 8x_{1} и -8x_{1} сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.
20x_{2}=28+12
Прибавьте 12x_{2} к 8x_{2}.
20x_{2}=40
Прибавьте 28 к 12.
x_{2}=2
Разделите обе части на 20.
4x_{1}-4\times 2=-6
Подставьте 2 вместо x_{2} в 4x_{1}-4x_{2}=-6. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x_{1}.
4x_{1}-8=-6
Умножьте -4 на 2.
4x_{1}=2
Прибавьте 8 к обеим частям уравнения.
x_{1}=\frac{1}{2}
Разделите обе части на 4.
x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2
Система решена.