Решить {l}{2x-3y=0}{-x+15y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - x + 15 y = 2 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

$$y=\frac{4}{27}\approx 0.148148148$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x-3y=0,-x+15y=2$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x-3y=0$$

Прибавьте 3y к обеим частям уравнения.

$$2x=3y$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\times 3y$$

Умножьте \frac{1}{2} на 3y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

Подставьте \frac{3y}{2} вместо x в другом уравнении -x+15y=2.

$$-\frac{3}{2}y+15y=2$$

Прибавьте -\frac{3y}{2} к 15y.

$$\frac{27}{2}y=2$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{27}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=\frac{4}{27}$$

Подставьте \frac{4}{27} вместо y в x=\frac{3}{2}y. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{4}{27}$$

Умножьте \frac{3}{2} на \frac{4}{27}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{2}{9}$$

Система решена.

$$x=\frac{2}{9},y=\frac{4}{27}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x-3y=0,-x+15y=2$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{27}&\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\\\frac{4}{27}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{2}{9},y=\frac{4}{27}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x-3y=0,-x+15y=2$$

Чтобы сделать 2x и -x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$-2x-\left(-3y\right)=0,2\left(-1\right)x+2\times 15y=2\times 2$$

Упростите.

$$-2x+3y=0,-2x+30y=4$$

Вычтите -2x+30y=4 из -2x+3y=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-2x+2x+3y-30y=-4$$

Прибавьте -2x к 2x. Члены -2x и 2x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$3y-30y=-4$$

Прибавьте 3y к -30y.

$$-27y=-4$$

Разделите обе части на -27.

$$y=\frac{4}{27}$$

Подставьте \frac{4}{27} вместо y в -x+15y=2. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-x+15\times \frac{4}{27}=2$$

Умножьте 15 на \frac{4}{27}.

$$-x+\frac{20}{9}=2$$

Вычтите \frac{20}{9} из обеих частей уравнения.

$$-x=-\frac{2}{9}$$

Разделите обе части на -1.

$$x=\frac{2}{9}$$

Система решена.

$$x=\frac{2}{9},y=\frac{4}{27}$$