Решить {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 7x из обеих частей уравнения.

$$y-7x=3$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+y=-6$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$2x=-y-6$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Подставьте -\frac{y}{2}-3 вместо x в другом уравнении -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Умножьте -7 на -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Прибавьте \frac{7y}{2} к y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Вычтите 21 из обеих частей уравнения.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{9}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-4$$

Подставьте -4 вместо y в x=-\frac{1}{2}y-3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Умножьте -\frac{1}{2} на -4.

$$x=2-3$$

Прибавьте -3 к 2.

$$x=-1$$

Система решена.

$$x=-1,y=-4$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 7x из обеих частей уравнения.

$$y-7x=3$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-1,y=-4$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 7x из обеих частей уравнения.

$$y-7x=3$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Вычтите -7x+y=3 из 2x+y=-6 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$2x+7x=-6-3$$

Прибавьте 2x к 7x.

$$9x=-6-3$$

Прибавьте -6 к -3.

$$9x=-9$$

Разделите обе части на 9.

$$x=-1$$

Подставьте -1 вместо x в -7x+y=3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Умножьте -7 на -1.

$$7+y=3$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$y=-4$$

Система решена.

$$x=-1,y=-4$$