Решить {l}{2x+4y=-4}{2x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+4y=-4$$

Вычтите 4y из обеих частей уравнения.

$$2x=-4y-4$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -4y-4.

$$x=-2y-2$$

Подставьте -2y-2 вместо x в другом уравнении 2x+y=8.

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

Умножьте 2 на -2y-2.

$$-4y-4+y=8$$

Прибавьте -4y к y.

$$-3y-4=8$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$-3y=12$$

Разделите обе части на -3.

$$y=-4$$

Подставьте -4 вместо y в x=-2y-2. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

Умножьте -2 на -4.

$$x=8-2$$

Прибавьте -2 к 8.

$$x=6$$

Система решена.

$$x=6,y=-4$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=6,y=-4$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Вычтите 2x+y=8 из 2x+4y=-4 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

Прибавьте 2x к -2x. Члены 2x и -2x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$4y-y=-4-8$$

Прибавьте 4y к -y.

$$3y=-4-8$$

Прибавьте -4 к -8.

$$3y=-12$$

Разделите обе части на 3.

$$y=-4$$

Подставьте -4 вместо y в 2x+y=8. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$2x-4=8$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$2x=12$$

Разделите обе части на 2.

$$x=6$$

Система решена.

$$x=6,y=-4$$