Решить {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+3y=10$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$2x=-3y+10$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Подставьте -\frac{3y}{2}+5 вместо x в другом уравнении 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Умножьте 4 на -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Прибавьте -6y к 5y.

$$-y+20=42$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$-y=22$$

Разделите обе части на -1.

$$y=-22$$

Подставьте -22 вместо y в x=-\frac{3}{2}y+5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Умножьте -\frac{3}{2} на -22.

$$x=33+5$$

Прибавьте 5 к 33.

$$x=38$$

Система решена.

$$x=38,y=-22$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=38,y=-22$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Чтобы сделать 2x и 4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Упростите.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Вычтите 8x+10y=84 из 8x+12y=40 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Прибавьте 8x к -8x. Члены 8x и -8x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$12y-10y=40-84$$

Прибавьте 12y к -10y.

$$2y=40-84$$

Прибавьте 40 к -84.

$$2y=-44$$

Разделите обе части на 2.

$$y=-22$$

Подставьте -22 вместо y в 4x+5y=42. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Умножьте 5 на -22.

$$4x-110=42$$

Прибавьте 110 к обеим частям уравнения.

$$4x=152$$

Разделите обе части на 4.

$$x=38$$

Система решена.

$$x=38,y=-22$$