Решить {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+16y=22$$

Вычтите 16y из обеих частей уравнения.

$$2x=-16y+22$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Подставьте -8y+11 вместо x в другом уравнении 4x+8y=20.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Умножьте 4 на -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Прибавьте -32y к 8y.

$$-24y+44=20$$

Вычтите 44 из обеих частей уравнения.

$$-24y=-24$$

Разделите обе части на -24.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в x=-8y+11. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-8+11$$

Прибавьте 11 к -8.

$$x=3$$

Система решена.

$$x=3,y=1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=3,y=1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Чтобы сделать 2x и 4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Упростите.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

Вычтите 8x+16y=40 из 8x+64y=88 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Прибавьте 8x к -8x. Члены 8x и -8x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$64y-16y=88-40$$

Прибавьте 64y к -16y.

$$48y=88-40$$

Прибавьте 88 к -40.

$$48y=48$$

Разделите обе части на 48.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в 4x+8y=20. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$4x+8=20$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$4x=12$$

Разделите обе части на 4.

$$x=3$$

Система решена.

$$x=3,y=1$$