Решить {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$13x+20y=48$$

Вычтите 20y из обеих частей уравнения.

$$13x=-20y+48$$

Разделите обе части на 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

Умножьте \frac{1}{13} на -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Подставьте \frac{-20y+48}{13} вместо x в другом уравнении 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

Умножьте 20 на \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

Прибавьте -\frac{400y}{13} к 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Вычтите \frac{960}{13} из обеих частей уравнения.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{809}{13}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Подставьте -\frac{947}{809} вместо y в x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Умножьте -\frac{20}{13} на -\frac{947}{809}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

Прибавьте \frac{48}{13} к \frac{18940}{10517}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Система решена.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Чтобы сделать 13x и 20x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 20 и все члены в обеих частях второго уравнения на 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Упростите.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

Вычтите 260x+1209y=13 из 260x+400y=960 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

Прибавьте 260x к -260x. Члены 260x и -260x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$400y-1209y=960-13$$

Прибавьте 400y к -1209y.

$$-809y=960-13$$

Прибавьте 960 к -13.

$$-809y=947$$

Разделите обе части на -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Подставьте -\frac{947}{809} вместо y в 20x+93y=1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

Умножьте 93 на -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Прибавьте \frac{88071}{809} к обеим частям уравнения.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Разделите обе части на 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Система решена.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$