Решить {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$12x+4y=6$$

Вычтите 4y из обеих частей уравнения.

$$12x=-4y+6$$

Разделите обе части на 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Умножьте \frac{1}{12} на -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Подставьте -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} вместо x в другом уравнении 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Умножьте 9 на -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Прибавьте -3y к 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Вычтите \frac{9}{2} из обеих частей уравнения.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Разделите обе части на 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Подставьте \frac{7}{26} вместо y в x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Умножьте -\frac{1}{3} на \frac{7}{26}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к -\frac{7}{78}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{16}{39}$$

Система решена.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Чтобы сделать 12x и 9x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 9 и все члены в обеих частях второго уравнения на 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Упростите.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Вычтите 108x+192y=96 из 108x+36y=54 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Прибавьте 108x к -108x. Члены 108x и -108x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$36y-192y=54-96$$

Прибавьте 36y к -192y.

$$-156y=54-96$$

Прибавьте 54 к -96.

$$-156y=-42$$

Разделите обе части на -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Подставьте \frac{7}{26} вместо y в 9x+16y=8. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Умножьте 16 на \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Вычтите \frac{56}{13} из обеих частей уравнения.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Разделите обе части на 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Система решена.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$