Решить {l}{-x-2y=-7}{2x+2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 7 } \\ { 2 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=9$$

$$y=-1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$-x-2y=-7$$

Прибавьте 2y к обеим частям уравнения.

$$-x=2y-7$$

Разделите обе части на -1.

$$x=-\left(2y-7\right)$$

Умножьте -1 на 2y-7.

$$x=-2y+7$$

Подставьте -2y+7 вместо x в другом уравнении 2x+2y=16.

$$2\left(-2y+7\right)+2y=16$$

Умножьте 2 на -2y+7.

$$-4y+14+2y=16$$

Прибавьте -4y к 2y.

$$-2y+14=16$$

Вычтите 14 из обеих частей уравнения.

$$-2y=2$$

Разделите обе части на -2.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в x=-2y+7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-2\left(-1\right)+7$$

Умножьте -2 на -1.

$$x=2+7$$

Прибавьте 7 к 2.

$$x=9$$

Система решена.

$$x=9,y=-1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+16\\-\left(-7\right)-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=9,y=-1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Чтобы сделать -x и 2x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 2 и все члены в обеих частях второго уравнения на -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-2\right)y=2\left(-7\right),-2x-2y=-16$$

Упростите.

$$-2x-4y=-14,-2x-2y=-16$$

Вычтите -2x-2y=-16 из -2x-4y=-14 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-2x+2x-4y+2y=-14+16$$

Прибавьте -2x к 2x. Члены -2x и 2x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-4y+2y=-14+16$$

Прибавьте -4y к 2y.

$$-2y=-14+16$$

Прибавьте -14 к 16.

$$-2y=2$$

Разделите обе части на -2.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в 2x+2y=16. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$2x+2\left(-1\right)=16$$

Умножьте 2 на -1.

$$2x-2=16$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$2x=18$$

Разделите обе части на 2.

$$x=9$$

Система решена.

$$x=9,y=-1$$