Решить {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Найдите y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Переменная x не может равняться \frac{4}{3}, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 2\left(3x-4\right), наименьшее общее кратное чисел 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Чтобы умножить 2 на y+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$2y+2=3x-4$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$2y+2-3x=-4$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$2y-3x=-4-2$$

Вычтите 2 из -4, чтобы получить -6.

$$2y-3x=-6$$

Рассмотрите второе уравнение. Переменная x не может равняться -\frac{11}{3}, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$5x+y-3x=11$$

Объедините 5x и -3x, чтобы получить 2x.

$$2x+y=11$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Выберите один из уравнений и решите его для y, изолируя y в левой части знака равенства.

$$2y-3x=-6$$

Прибавьте 3x к обеим частям уравнения.

$$2y=3x-6$$

Разделите обе части на 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Подставьте \frac{3x}{2}-3 вместо y в другом уравнении y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Прибавьте \frac{3x}{2} к 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{7}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$x=4$$

Подставьте 4 вместо x в y=\frac{3}{2}x-3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Умножьте \frac{3}{2} на 4.

$$y=6-3$$

Прибавьте -3 к 6.

$$y=3$$

Система решена.

$$y=3,x=4$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Переменная x не может равняться \frac{4}{3}, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 2\left(3x-4\right), наименьшее общее кратное чисел 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Чтобы умножить 2 на y+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$2y+2=3x-4$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$2y+2-3x=-4$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$2y-3x=-4-2$$

Вычтите 2 из -4, чтобы получить -6.

$$2y-3x=-6$$

Рассмотрите второе уравнение. Переменная x не может равняться -\frac{11}{3}, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$5x+y-3x=11$$

Объедините 5x и -3x, чтобы получить 2x.

$$2x+y=11$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=3,x=4$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Переменная x не может равняться \frac{4}{3}, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 2\left(3x-4\right), наименьшее общее кратное чисел 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Чтобы умножить 2 на y+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$2y+2=3x-4$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$2y+2-3x=-4$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$2y-3x=-4-2$$

Вычтите 2 из -4, чтобы получить -6.

$$2y-3x=-6$$

Рассмотрите второе уравнение. Переменная x не может равняться -\frac{11}{3}, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$5x+y-3x=11$$

Объедините 5x и -3x, чтобы получить 2x.

$$2x+y=11$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Чтобы сделать 2y и y равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Упростите.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Вычтите 2y+4x=22 из 2y-3x=-6 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Прибавьте 2y к -2y. Члены 2y и -2y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-3x-4x=-6-22$$

Прибавьте -3x к -4x.

$$-7x=-6-22$$

Прибавьте -6 к -22.

$$-7x=-28$$

Разделите обе части на -7.

$$x=4$$

Подставьте 4 вместо x в y+2x=11. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y+2\times 4=11$$

Умножьте 2 на 4.

$$y+8=11$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$y=3$$

Система решена.

$$y=3,x=4$$