Решить {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 6, наименьшее общее кратное чисел 3,2.

$$2x-3y=48$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 15, наименьшее общее кратное чисел 5,3.

$$3x+5y=15$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x-3y=48$$

Прибавьте 3y к обеим частям уравнения.

$$2x=3y+48$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Подставьте \frac{3y}{2}+24 вместо x в другом уравнении 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Умножьте 3 на \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Прибавьте \frac{9y}{2} к 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Вычтите 72 из обеих частей уравнения.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{19}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-6$$

Подставьте -6 вместо y в x=\frac{3}{2}y+24. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Умножьте \frac{3}{2} на -6.

$$x=-9+24$$

Прибавьте 24 к -9.

$$x=15$$

Система решена.

$$x=15,y=-6$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 6, наименьшее общее кратное чисел 3,2.

$$2x-3y=48$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 15, наименьшее общее кратное чисел 5,3.

$$3x+5y=15$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=15,y=-6$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 6, наименьшее общее кратное чисел 3,2.

$$2x-3y=48$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 15, наименьшее общее кратное чисел 5,3.

$$3x+5y=15$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Чтобы сделать 2x и 3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Упростите.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Вычтите 6x+10y=30 из 6x-9y=144 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Прибавьте 6x к -6x. Члены 6x и -6x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-9y-10y=144-30$$

Прибавьте -9y к -10y.

$$-19y=144-30$$

Прибавьте 144 к -30.

$$-19y=114$$

Разделите обе части на -19.

$$y=-6$$

Подставьте -6 вместо y в 3x+5y=15. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Умножьте 5 на -6.

$$3x-30=15$$

Прибавьте 30 к обеим частям уравнения.

$$3x=45$$

Разделите обе части на 3.

$$x=15$$

Система решена.

$$x=15,y=-6$$