Решить {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Найдите k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Переменная L не может равняться 0, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на L.

$$k=100L$$

Подставьте 100L вместо k в другом уравнении 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Умножьте 5 на 100L.

$$500L+50L=110$$

Прибавьте 500L к 50L.

$$550L=110$$

Разделите обе части на 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Подставьте \frac{1}{5} вместо L в k=100L. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для k.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Умножьте 100 на \frac{1}{5}.

$$k=20$$

Система решена.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Переменная L не может равняться 0, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на L.

$$k=100L$$

Вычтите 100L из обеих частей уравнения.

$$k-100L=0$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы k и L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Переменная L не может равняться 0, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на L.

$$k=100L$$

Вычтите 100L из обеих частей уравнения.

$$k-100L=0$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Чтобы сделать k и 5k равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 5 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Упростите.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Вычтите 5k+50L=110 из 5k-500L=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Прибавьте 5k к -5k. Члены 5k и -5k сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-500L-50L=-110$$

Прибавьте -500L к -50L.

$$-550L=-110$$

Разделите обе части на -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Подставьте \frac{1}{5} вместо L в 5k+50L=110. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для k.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Умножьте 50 на \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$5k=100$$

Разделите обе части на 5.

$$k=20$$

Система решена.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$