Решить {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=28$$

$$y=25$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x-3-y=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$x-y=3$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$4x-3y=37$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x-y=3$$

Прибавьте y к обеим частям уравнения.

$$x=y+3$$

Подставьте y+3 вместо x в другом уравнении 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Умножьте 4 на y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Прибавьте 4y к -3y.

$$y+12=37$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$y=25$$

Подставьте 25 вместо y в x=y+3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=25+3$$

Прибавьте 3 к 25.

$$x=28$$

Система решена.

$$x=28,y=25$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x-3-y=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$x-y=3$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$4x-3y=37$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=28,y=25$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x-3-y=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$x-y=3$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$4x-3y=37$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Чтобы сделать x и 4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Упростите.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Вычтите 4x-3y=37 из 4x-4y=12 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Прибавьте 4x к -4x. Члены 4x и -4x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-4y+3y=12-37$$

Прибавьте -4y к 3y.

$$-y=12-37$$

Прибавьте 12 к -37.

$$-y=-25$$

Разделите обе части на -1.

$$y=25$$

Подставьте 25 вместо y в 4x-3y=37. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$4x-3\times 25=37$$

Умножьте -3 на 25.

$$4x-75=37$$

Прибавьте 75 к обеим частям уравнения.

$$4x=112$$

Разделите обе части на 4.

$$x=28$$

Система решена.

$$x=28,y=25$$