Решить {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x+y=21$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x=-y+21$$

Подставьте -y+21 вместо x в другом уравнении 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Умножьте 0.25 на -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Прибавьте -\frac{y}{4} к \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Вычтите 5.25 из обеих частей уравнения.

$$-0.2y=-1.9$$

Умножьте обе части на -5.

$$y=9.5$$

Подставьте 9.5 вместо y в x=-y+21. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-9.5+21$$

Прибавьте 21 к -9.5.

$$x=11.5$$

Система решена.

$$x=11.5,y=9.5$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=11.5,y=9.5$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Чтобы сделать x и \frac{x}{4} равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 0.25 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Упростите.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

Вычтите 0.25x+0.05y=3.35 из 0.25x+0.25y=5.25 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Прибавьте \frac{x}{4} к -\frac{x}{4}. Члены \frac{x}{4} и -\frac{x}{4} сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Прибавьте \frac{y}{4} к -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Прибавьте 5.25 к -3.35, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$0.2y=1.9$$

Умножьте обе части на 5.

$$y=9.5$$

Подставьте 9.5 вместо y в 0.25x+0.05y=3.35. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Умножьте 0.05 на 9.5, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Вычтите 0.475 из обеих частей уравнения.

$$0.25x=2.875$$

Умножьте обе части на 4.

$$x=11.5$$

Система решена.

$$x=11.5,y=9.5$$