Решить {lll}{11}&{21}&{31}{21}&{31}&{4}{31}&{41}&{51}

$$\left| \begin{array} { l l l } { 11 } & { 21 } & { 31 } \\ { 21 } & { 31 } & { 4 } \\ { 31 } & { 41 } & { 51 } \end{array} \right|$$

Вычислить

$$-7400$$

Действия с использованием правила Саррюса

Найдите детерминант матрицы, используя метод диагоналей.

$$det(\left(\begin{matrix}11&21&31\\21&31&4\\31&41&51\end{matrix}\right))$$

Расширьте исходную матрицу, скопировав два первых столбца и добавив их в качестве четвертого и пятого столбцов.

$$\left(\begin{matrix}11&21&31&11&21\\21&31&4&21&31\\31&41&51&31&41\end{matrix}\right)$$

Начиная с верхнего левого элемента, перемножьте элементы на диагоналях и сложите полученные произведения.

$$11\times 31\times 51+21\times 4\times 31+31\times 21\times 41=46686$$

Начиная с нижнего левого элемента, перемножьте элементы на диагоналях и сложите полученные произведения.

$$31\times 31\times 31+41\times 4\times 11+51\times 21\times 21=54086$$

Вычтите сумму произведений восходящей диагонали из суммы произведений нисходящей диагонали.

$$46686-54086$$

Вычтите 54086 из 46686.

$$-7400$$

Действия с использованием разложения по минорам

Найдите детерминант матрицы, используя метод разложения на миноры (также называемый методом разложения на адъюнкты).

$$det(\left(\begin{matrix}11&21&31\\21&31&4\\31&41&51\end{matrix}\right))$$

Чтобы выполнить разложение на миноры, умножьте каждый элемент первой строки на ее минор, который равен определителю матрицы с размерностью 2\times 2, созданной путем удаления строки и столбца, содержащего этот элемент, а затем умножьте результат на знак позиции элемента.

$$11det(\left(\begin{matrix}31&4\\41&51\end{matrix}\right))-21det(\left(\begin{matrix}21&4\\31&51\end{matrix}\right))+31det(\left(\begin{matrix}21&31\\31&41\end{matrix}\right))$$

Для \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицы 2\times 2 ad-bc.

$$11\left(31\times 51-41\times 4\right)-21\left(21\times 51-31\times 4\right)+31\left(21\times 41-31\times 31\right)$$

Упростите.

$$11\times 1417-21\times 947+31\left(-100\right)$$

Чтобы получить окончательный результат, сложите члены.

$$-7400$$

Разложить на множители

$$-7400$$