Решить {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Найдите y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Выберите одно из уравнений и решите его для y путем изоляция y в левой части уравнения.

$$y-2x=4$$

Прибавьте 2x к обеим частям уравнения.

$$y=2x+4$$

Подставьте 4+2x вместо y в другом уравнении 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Умножьте 3 на 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Прибавьте 6x к 2x.

$$8x+12=28$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$8x=16$$

Разделите обе части на 8.

$$x=2$$

Подставьте 2 вместо x в y=2x+4. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=2\times 2+4$$

Умножьте 2 на 2.

$$y=4+4$$

Прибавьте 4 к 4.

$$y=8$$

Система решена.

$$y=8,x=2$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=8,x=2$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Чтобы сделать y и 3y равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Упростите.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Вычтите 3y+2x=28 из 3y-6x=12 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Прибавьте 3y к -3y. Члены 3y и -3y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-6x-2x=12-28$$

Прибавьте -6x к -2x.

$$-8x=12-28$$

Прибавьте 12 к -28.

$$-8x=-16$$

Разделите обе части на -8.

$$x=2$$

Подставьте 2 вместо x в 3y+2x=28. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$3y+2\times 2=28$$

Умножьте 2 на 2.

$$3y+4=28$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$3y=24$$

Разделите обе части на 3.

$$y=8$$

Система решена.

$$y=8,x=2$$