Решить {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

Действия с использованием подстановок и формулы корней квадратного уравнения

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите y^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

Прибавьте 6 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

РазРешите x-y=\frac{1}{4} x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

Вычтите -y из обеих частей уравнения.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

Подставьте y+\frac{1}{4} вместо x в другом уравнении -y^{2}+3x^{2}=6.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

Возведите y+\frac{1}{4} в квадрат.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

Умножьте 3 на y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Прибавьте -y^{2} к 3y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1+3\times 1^{2} вместо a, 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 вместо b и -\frac{93}{16} вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 в квадрат.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -\frac{93}{16}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

Прибавьте \frac{9}{4} к \frac{93}{2}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из \frac{195}{4}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

Решите уравнение y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -\frac{3}{2} к \frac{\sqrt{195}}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Разделите \frac{-3+\sqrt{195}}{2} на 4.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

Решите уравнение y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \frac{\sqrt{195}}{2} из -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Разделите \frac{-3-\sqrt{195}}{2} на 4.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

Существует два решения для y: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} и \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. Подставьте \frac{-3+\sqrt{195}}{8} вместо y в уравнении x=y+\frac{1}{4}, чтобы найти соответствующее решение для x, удовлетворяющее обоим уравнениям.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Теперь подставьте \frac{-3-\sqrt{195}}{8} вместо y в уравнении x=y+\frac{1}{4} и решите его, чтобы найти соответствующее решение для x, удовлетворяющее обоим уравнениям.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Система решена.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$